TIL: Quick note on introduction to group theory (vietnamese)

Hôm nay tôi xem kỹ hơn một video về group theory của tác giả 3b1b.

Và thử diễn đạt lại theo cách hiểu của mình.

Bắt đầu từ symmetry (đối xứng)

Hiểu nôm na thì nó là nói về tính chất của một vật (entity)
(hiểu là một cái gì đấy trừu tượng của toán học, có thể xuất phát từ việc trừu tượng hoá những vật cụ thể trong cuộc sống thực hoặc không).

Chúng ta có thể áp dụng các “phép biến đổi” (action) cụ thể lên một vật symmetry,
để nó quay trở về trạng thái ban đầu.

Ví dụ hình lục giác có tính đối xứng trong không gian 2 chiều,
và mình có thể áp dụng các hành động như xoay nó một góc 60°, 120°, …
hoặc thực hiện phép phản chiếu (mirror) qua một trong 12 trục của nó, …
thì nó sẽ quay trở về trạng thái ban đầu.

Gọi là đối xứng hình học – geometric symmetry

Ngoài lề thì, vật lý cũng chủ yếu tập trung vào nghiên cứu những thứ đối xứng,
nghĩa là những hiện tượng vẫn vẫn giữ nguyên bản chất khi ta thay đổi góc nhìn, vị trí, hay thời điểm trong không gian – thời gian, và có thể tính toán được.

Quay lại toán học, đối xứng có thể hiểu rộng hơn,
như là một tập hợp [1, 2, 1, 3],
nếu mình thực hiện phép hoán vị giữa phần tử thứ nhất và thứ 3 thì tập mới sẽ chính là tập cũ
cái này là đối xứng hoán vị – permutation symmetry

Về ví dụ hình lục giác đều,
đánh số các đỉnh là 1,2,3,4,5,6
ta có thể mô tả các phép biến đổi như là hoán vị của các đỉnh:

• phép xoay 60°: 1→2, 2→3, 3→4, 4→5, 5→6, 6→1
  
• phép phản chiếu qua trục: 1→6, 6→1, 2→5, 5→2, 3→4, 4→3

Và phép xoay 120° có thể xem là kết hợp của hai phép xoay 60°
R₁₂₀ = R₆₀ × R₆₀

tương ứng với hoán vị
1→3 = 1→2 × 2→3

Như vậy người ta mô tả một tập D₆ là một tập con của tập S₆
gồm những hoán vị có thể sinh ra các phép xoay và phép phản chiếu thực sự
rồi người ta thấy rằng đối xứng hình học là một biểu hiện cụ thể của đối xứng hoán vị
và có thể áp dụng các phép tính chung trên cả hai tập để ra cùng kết quả

Rồi mô tả trừu tượng hơn thành:

• Mọi đối xứng đều là một hoán vị giữ nguyên cấu trúc của đối tượng.
  
• Every symmetry is a permutation that preserves the structure of the object.
  
• A symmetry is fundamentally defined as a bijection (permutation) of a set onto itself that preserves the relevant structure of the object.

Đó chính là tiền đề của lý thuyết nhóm (group theory):
nó tìm ra cái chung (hiểu là trừu tượng hơn) để
liên kết các khái niệm có vẻ không liên quan đến nhau
như là hình học và tập hợp, âm nhạc và cấu trúc toán học, rubik và logic, …

Tuy nhiên lý thuyết nhóm không chỉ nghiên cứu về đối xứng,
mà trừu tượng hơn, nó còn nghiên cứu mọi hệ thống có một phép tính thoả mãn:

1. đóng (closure): phép tính giữa 2 phần tử bất kỳ phải nằm trong hệ
2. có phần tử đơn vị (identity): khi kết hợp với bất kỳ phần tử nào khác thì không làm thay đổi gì cả
3. có nghịch đảo: mỗi phần tử đều có phần tử đối xứng để khi kết hợp với nhau thì trở thành phần tử đơn vị
4. tính kết hợp: có thể gộp phép tính tuỳ ý bằng dấu ngoặc, như (2+3)+5 = 2+(3+5), mà không làm thay đổi kết quả

Như vậy lý thuyết nhóm không chỉ là chuyện xoay hình hay hoán vị số, mà là ngôn ngữ chung của sự trật tự trong biến đổi.

Bất cứ khi nào ta có một “thế giới” (một tập các phần tử)
và một “cách tương tác” (phép toán) giữa chúng mà tuân theo 4 quy tắc trên,
thì ta đã có một nhóm — một mô hình thuần túy, trừu tượng, nhưng lại mô tả rất nhiều hiện tượng trong tự nhiên.

Ví dụ:

• Trong hóa học, nhóm mô tả cách các phân tử có thể quay, lật, hay phản chiếu mà vẫn giữ cấu trúc.
• Trong vật lý, nhóm mô tả đối xứng của không-thời gian, hay các hạt cơ bản (như nhóm Lie trong cơ học lượng tử).
• Trong âm nhạc, nhóm mô tả sự lặp lại của nhịp, quãng, hòa âm — ví dụ nhóm xoay của vòng tròn quãng 5.
• Trong khoa học máy tính, nhóm mô tả các hoán vị, mã hóa, hay các phép biến đổi logic.
• Trong nghệ thuật và thiết kế, nhóm mô tả nhịp điệu, đối xứng, và sự cân bằng trong bố cục.

Đoạn sau của video thì nói về việc các nhà khoa học đã tìm được cách phân loại tất cả các nhóm.

Khi người ta hiểu là group theory có thể mô tả mọi loại đối xứng (từ hình học, đại số, vật lý, âm nhạc, …)
thì câu hỏi tự nhiên được đặt ra là:

• “Vậy có bao nhiêu loại đối xứng cơ bản trên đời?”

Hiểu theo nghĩa

• “Nếu ta chia nhỏ tất cả các nhóm ra đến mức tối giản, thì có bao nhiêu loại cơ bản mà không thể tách rời được nữa?”

Nó giống như việc tìm ra nguyên tử (atom) trong thế giới của hoá học.

Các nhà toán học đã mất hơn 30 năm (từ 1950s đến 1980s), hơn 10.000 trang công trình để chứng minh rằng:

Mọi nhóm hữu hạn đơn (finite simple group) đều thuộc vào một trong bốn loại sau:

1. Nhóm hoán vị luân phiên A_n (với n ≥ 5) — ví dụ A_5 là nhóm đối xứng của khối mười hai mặt đều (dodecahedron).
2. Nhóm Lie hữu hạn (finite groups of Lie type) — phát sinh từ đối xứng trong đại số tuyến tính, dùng trong vật lý lý thuyết.
3. 22 nhóm lẻ biệt (sporadic groups) — những “ngoại lệ” kỳ lạ, không thuộc vào hệ thống nào khác. Đây chính là nơi Monster Group xuất hiện. 👾
4. Các nhóm nhỏ và tầm thường (cyclic groups nguyên thủy).

Trong 22 nhóm sporadic, có 1 con khổng lồ, gọi là The Monster Group hay Friendly Giant

• Nó có khoảng 8 × 10⁵³ phần tử.
• Ma trận nhỏ nhất có thể biểu diễn nhóm này có kích thước 196,883 × 196,883.
• Toàn bộ nhóm chứa hàng triệu tỷ tỷ tỷ phép đối xứng, và tất cả chúng phối hợp với nhau trong một trật tự hoàn hảo đến đáng kinh ngạc.

Let's stay connected!

Author

I'm Oliver Nguyen. A software maker working mostly in Go and JavaScript. I enjoy learning and seeing a better version of myself each day. Occasionally spin off new open source projects. Share knowledge and thoughts during my journey. Connect with me on , , , , or subscribe to my posts.